Versores: conceitos, exercícios e exemplos

Versores: conceitos, exemplos e exercícios

Conceito de versores

Versores são vetores de módulo unitário. Eles servem para escrevermos a equação de outros vetores em função deles. Da mesma maneira que os vetores, os versores possuem três direções diferentes no plano. Vamos dar uma olhada em exemplos para que possamos entender melhor.

Vamos lá!

Exemplos de versores

Exemplo 1

Abaixo temos os versores i e j, que vamos usar para descrever o vetor A.

Neste caso, podemos dizer que o vetor A é a soma de dois outros vetores: um horizontal e outro vertical:

Então, se temos o versor i apontando para a direita e ele vale 1, o vetor componente de A que aponta para a direita vale 2.i. Da mesma forma, se j aponta para cima e vale 1, então o vetor componente de A que aponta para cima vale 3.j

Então, temos a seguinte equação:

se você quiser calcular qual é o módulo de A, você já nem precisa mais do desenho; você vai pegar os números  2.i e 3.j  e vai aplicar Teorema de Pitágoras, pois A é a hipotenusa do triângulo formado, assim como 2.i e 3.j são os catetos desse triângulo.

Então:

A² = 2i² + 3j²

A² = 2² + 3²

A² = 4 + 9

A² = 13

|A| = √13

Então, o módulo dele é √13

Exemplo 2

Vejamos agora o seguinte vetor:

Observe que esse vetor não tem componente j, apenas i, então a fórmula fica

Como i = 1, então:

|B| = 4

Exemplo 3

Vejamos agora o vetor C:

Ele não tem nenhum componente na horizontal, então ele não tem nada de i. Como o vetor está apontando para baixo, então usaremos o sinal negativo em frente a j. Logo:

C = -4

|C| = 4

Como o vetor C e o vetor B possuem o mesmo número de unidades, podemos dizer que 

|C| = |B|.

Exemplo 4

Vamos ver mais um vetor, desta vez o D:

Pela regra do polígono, temos:

O componente horizontal de D é igual a 3i, enquanto o componente vertical é igual a -4j. Então a equação do vetor D fica:

Hora de aplicar Pitágoras para descobrirmos a hipotenusa deste triângulo:

D² = 3² + 4²

D² = 9 + 16

D² = 25

D = √25

|D| = 5

Exemplo 5

Agora o vetor E:

Ele possui dois componentes:

Então, sua fórmula é:

Pitágoras nela!

E² = 10i² + 2j²

E² = 10² + 2²

E² = 100 + 4

E² = 104

E = √104

|E| ≅ 10,2

Exercícios de versores

Bom, agora que já entendemos o conceito de versores e como usá-los, vamos fazer alguns exercícios para praticar:

Exercício 1

Considere os três vetores a seguir

a) Determine a intensidade do vetor soma: 

Poderíamos calcular o vetor resultante, mas vamos usar os versores. Então:

Agora é só somarmos tudo:

Se temos um vetor S que possui componente horizontal e vertical iguais, então ele forma um ângulo de 45º:

Então, Pitágoras de novo:

S² = 4² + 4²

S² = 16 + 16

S² = 32

S = √32

Depois de aplicarmos a fatoração, temos:

|S| = 4√2

b) Determine a intensidade do vetor 

Primeiramente, vamos substituir os vetores da equação pelas equações que criamos acima:

Como o vetor tem componentes horizontal e vertical, sabemos que forma um triângulo retângulo. Então, é só aplicar Pitágoras:

R² = (-31)² + (-20)²

R² = 961 + 400

R² = 1361

R = √1361

|R| ≅ 37

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