Movimento Harmônico Simples

Olá, pessoal, tudo bem?

Nesta aula, vamos falar sobre o famoso MHS – ou Movimento Harmônico Simples – e determinar as equações que podem ser utilizadas para resolver esse tipo de questão. Bons estudos!

Movimento Harmônico Simples

A primeira coisa que devemos ter em mente é que todo Movimento Harmônico Simples é periódico (que se repete em intervalos de tempo iguais) e oscilatório (que inverte de sentido).

Veja as figuras dos nossos exemplos e repare que todos se encaixam nas características que citamos acima: periódicos e oscilatórios:

Vale dizer que o mais importante para os vestibulares é o primeiro exemplo, o oscilador de massa-mola. Por isso, para estudarmos o MHS, vamos nos basear no seguinte experimento: um corpo de massa atado a uma mola de constante elástica k. Veja as figuras:

Importante: todo MHS está sujeito a uma força restauradora, que é uma força que sempre tenta trazer o corpo para o centro.

Cinemática do MHS: como determinar funções horárias

As figuras abaixo representam o ciclo do movimento: quando o corpo sai do centro, se desloca para um lado, volta a passar pelo centro, se desloca para o lado oposto e passa novamente pelo centro no mesmo sentido em que começou o movimento. Veja:

Neste tempo (Δt = T) dizemos que ele gasta um período do movimento, isto é, o intervalo de tempo que leva para descrever uma oscilação completa.

Aprender a cinemática do MHS é aprender a determinar as seguintes equações:

• Posição em função do tempo: x = f(t)
• Velocidade em função do tempo: v = f(t)
• Aceleração em função do tempo: a = f(t)

Para determinarmos as equações que citamos do MHS, precisamos fazer uma analogia com o Movimento Circular Uniforme (MCU). A figura abaixo representa um corpo (bolinha lilás) girando no ar (MCU) e a sua sombra projetada no chão (MHS). Veja:

Mas o que esses dois movimentos têm em comum: o raio do objeto que gira em MCU é igual à amplitude do MHS (R = A). A amplitude (A) está relacionada com a energia do movimento, ou seja, quanto mais amplitude, mais energia.

Outra relação importante é que o período do MCU é igual ao período do MHS (T_MCU = T_MHS).

Revisão MCU: equação horário angular

Para entender o MHS, precisamos revisar o MCU. Isso é fundamental também porque muitos alunos aprendem o MCU sem compreender direito o que é a equação horária de formato angular.

Todo movimento uniforme obedece a uma equação básica: S = S₀ + v . t

Agora observe a figura:

O ângulo central está indicado na figura pela letra grega ϕ (fi). Quando falamos de MHS, esse ângulo recebe o nome de fase e é medido em radiano. O ângulo em questão pode ser definido pelo arco da circunferência dividido pelo raio – repare que o arco é uma posição (S). Então, tomando emprestado da Matemática, sabemos que: ϕ = S ÷ R

Agora, vamos pegar a equação do movimento uniforme e dividir os dois lados pelo raio da nossa circunferência. Assim, teremos: (S ÷ R) = (S₀ ÷ R) + (v . t ÷ R)

Porém, repare: vimos que quando dividimos o arco pelo raio, temos o ângulo, certo? Guarde essa informação. Agora, lembre-se de que no movimento uniforme existem dois tipos de velocidade: velocidade linear (v) e a velocidade angular (ω). Existe uma relação entre essas duas velocidades, que nos dá a seguinte fórmula: v = ω . R. Se rearranjar se a equação, temo V ÷ R = ω.

Portanto, com essas informações em mente, nossa equação ficaria: ϕ = ϕ₀ + ω . t. E essa é a tal equação horária no formato angular.

Posição no MHS

A equação da posição em função do tempo é: x = f(t). Agora, veja a figura e suponha que a bolinha esteja em movimento circulares no sentido anti-horário (para a esquerda). Como vimos, onde ela estiver, projetamos sua imagem no chão.

Mas como fazemos isso? Lembre que raio (R) é igual a amplitude (A) e que o ângulo é dado. O x da equação acima é o espaço entre o centro e a projeção no chão. Veja:

Repare que formamos um triângulo retângulo, cuja base é o mesmo x que projetamos no chão. Este é o nosso cateto adjacente, pois está ao lado do ângulo. Portanto, podemos usar o cosseno do ângulo ϕ para descobrir x. Acompanhe:

cosϕ = x ÷ A

x = A . cosϕ

Mas quanto vale nosso ângulo, se o objetivo está em constante movimento? Vimos nesta aula que o ângulo ϕ tem uma equação que o define: ϕ = ϕ₀ + ω . t. Então, a equação da posição do MHS fica assim:

x = A . cos (ϕ₀ + ω . t)

Velocidade no MHS

Lembremos que a fórmula da velocidade em função do tempo é: v = f(t). Agora, veja a figura:

Para determinar esse vetor, precisamos novamente projetá-lo no chão. Para ficar mais fácil, vamos sinalizar esse mesmo vetor onde formaremos nosso triângulo. Repare que o ângulo ϕ será formado junto ao vetor.

O ângulo entre o raio e o vetor é de 90º. Como já temos o ângulo ϕ, então o ângulo α complementar vai ser 90 – ϕ. Tornando mais fácil, temos que α + ϕ = 90º. Portanto, pode concluir que o ângulo formado no vértice superior do nosso triângulo retângulo é ϕ, pois são ângulos complementares.

Veja:

Repare que o vetor da velocidade do MHS é oposto ao ângulo ϕ, ou seja, podemos utilizar o seno: senϕ = |V_MHS| ÷ |V_MCU|. Perceba, porém, que quem está no MCU tem velocidade dada pela fórmula V_MCU = ω . R. Como vimos, o raio é igual à amplitude (A). Então: |V_MHS| = ω . A . senϕ

Só que encontramos um problema. Lembre-se da Matemática, a função seno é positiva nos dois quadrantes superiores e negativa nos inferiores. Perceba que, embora o seno seja positivo, o vetor da velocidade está apontando para a esquerda, indo contra a trajetória. Então, nesse quadrante, a V_MHS tem que ser negativa. Então, anote aí: VMHS e senϕ têm sempre sinais opostos. Portanto: V_MHS = – ω . A . senϕ.

Mas lembre que ϕ = ϕ₀ + ω . t. Assim, a equação da velocidade no MHS é:

V_MHS = – ω . A . sen (ϕ₀ + ω . t)

Aceleração no MHS

Lembre-se de que a fórmula da aceleração em função do tempo é: a = f(t). Agora, veja a figura:

Novamente, precisamos projetar no chão. Lembremos que o movimento circular tem uma aceleração centrípeta, calculada por ω² . R. Veja que a equação da aceleração no MHS será dada pelo vetor sinalizado em azul, formando um triângulo retângulo com o nosso ângulo ϕ. Veja:

Nesse caso, podemos utilizar o cosseno: cosϕ = |a_MHS| ÷ a_MCU. Trocando a aceleração do MCU pela fórmula que vimos acima, teremos: |a_MHS| = ω² . A . cosϕ. Porém, assim como aconteceu com o cálculo da velocidade, temos aqui um problema de sinal, pois nos quadrantes em que o cosseno por positivo, a aceleração será negativa. Portanto, termos: a_MHS = – ω² . A . cosϕ.

Por fim, vamos lembrar de substituir o ϕ pela sua fórmula. Assim, a fórmula da aceleração no MHS é:

a_MHS = – ω² . A . cos (ϕ₀ + ω . t)

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