Fala, pessoal!
Neste blog vamos falar sobre o Sistema Internacional de Unidades, repassando algumas grandezas que costumamos utilizar no estudo da Física, seus símbolos, como escrevê-las e muito mais. Também vamos falar sobre Análise Dimensional. Acompanhe e bons estudos.
Sistema Internacional de Unidades (SI)
Veja a tabela:
Essas são algumas das unidades com que nos deparamos ao longo dos nossos estudos. Quando uma questão nos pedir as grandezas de um cálculo qualquer em Sistema Internacional, é dessas medidas que estamos falando.
Importante: é importante conhecer os símbolos dessas grandes e saber escrevê-los corretamente. Não escreve quilograma como Kg (o correto é minúsculo) ou segundos como seg, por exemplo.
Regras básicas para unidades
Pouca gente conhece essas regras. Por isso, atente-se:
- Ao escrever por extenso unidade que é nome próprio (como nomes de pessoas),começar com minúscula. Exceção feita a graus Celsius.
- O símbolo de uma unidade é nome próprio e deve ser grafado em maiúscula. Os demais vêm em minúscula.
Observe:
Outras regras:
- Nos plurais ocorre o acréscimo de “s”.
- Os símbolos não têm acréscimo de “s”
Veja:
Atente-se ao plural de pascal (Pa) e de decibel (dB).
Análise dimensional
Veja a figura:
Entenda que existem grandezas físicas que são fundamentais. Isso significa que elas podem compor outras grandezas. Exemplo: velocidade (v) não é uma grandeza fundamental, pois ela trata de espaço por tempo. Portanto, se dividirmos L por T, estamos nos falando de uma dimensão de velocidade. Nesse caso, chamaremos de grandezas derivadas (velocidade, força , quantidade de movimento, energia, trabalho etc.).
Grandezas derivadas podem ser representadas por um produto das grandezas fundamentais elevadas ao seu respectivo expoente. As grandezas mais usadas são as do chamado sistema MLT (massa, comprimento e tempo), muito utilizadas na Mecânica.
Podemos escrever qualquer grandeza física como uma constante K adimensional (sem unidade). Veja:
Agora, veja a tabela abaixo. Ela mostra a equação dimensional de diferentes grandezas físicas a partir das suas fórmulas:
Repare na primeira grandeza e sua fórmula. Agora note que a dimensão de velocidade, como já comentamos, é um comprimento dividido por um tempo. E isso nos leva à equação dimensional.
Veja que todas as equações seguintes baseiam-se no mesmo conceito. No caso da aceleração, temos que ela se dá pela dimensão de velocidade dividida pela dimensão de tempo. A dimensão da velocidade já sabemos, basta substituir.
E o mesmo acontece na força. Veja que a fórmula para calculá-la já possui uma grandeza fundamental, que é a massa. Portanto, basta substituir a aceleração pela equação que encontramos acima.
Então, essa tabela nos mostra que, por meio das equações dimensionais, podemos obter a dimensão de qualquer grandeza que não seja fundamental.
Homogeneidade dimensional
Uma equação não pode ser verdadeira se não for dimensionalmente homogênea.
Veja a fórmula:
As unidades dessa fórmula são: m/s = m/s + m/s² . s
Veja que se fizermos os devidos arranjos e cálculos, chegaremos que m/s = m/s + m/s. Pois bem, em toda equação da Física vai acontecer a mesma coisa!
Outro exemplo:
Δs = S0 + v0 . t + a/2 . t²
Se Δs é um comprimento (L), todos os outros termos juntos têm que resultar na mesma grandeza. Vamos usar a mesma lógica da nossa tabela de análise dimensional:
Δs = L
v0 . t = L / T . T = L
a/2 . t² = L / T² . T² = L
Veja que, no final das contas, teremos, dimensionalmente, todos os termos da equação
Δs = S0 + v0 . t + a/2 . t²
com dimensão de comprimento, L.
Portanto, quando falamos de homogeneidade dimensional, estamos nos referindo ao fato de que um lado da equação tem que ter a mesma unidade do outro.
Previsão de fórmulas
Podemos utilizar a análise dimensional para prever fórmulas. Para isso, temos alguns passos:
- 1° passo: saber quais grandezas fundamentais interferem nas medidas da grandeza cuja fórmula se quer determinar.
- 2° passo: escrever a fórmula dimensional.
- 3° passo: impor a homogeneidade dimensional.
Exemplo: resultante centrípeta. Essa é uma força que atua em movimentos curvos. Então como podemos determinar a dimensão dessa grandeza? Vamos supor, aleatoriamente e com base nos nossos conhecimentos, que a resultante centrípeta é uma dimensão que depende de massa (m), velocidade (v) e da temperatura do corpo (θ):
[Rcp] = ma . vb . θc
Vamos pensar: resultante centrípeta é uma grandeza do tipo força, portanto sabemos que na fórmula que acabamos de escrever, temos uma força do lado esquerdo e sabemos que a equação dimensional dessa grandeza se dá por: M . L . T-2. Portanto:
[Rcp] = ma . vb . θc
M . L . T-2 = Ma . (L . T-1)b . θc
Ajustando:
M . L . T-2 = Ma . Lb . T-b . θc
Veja que a única grandeza que está sobrando é o θ. Portanto, vamos considerar que c = 0, o que vai acarretar que a resultante centrípeta não depende da temperatura, como chutamos inicialmente.
Olhando a fórmula, podemos concluir também que a = 1, pois temos que igualar os dois lados. Em seguida, podemos ver que temos um incongruência no expoente b, que está com dois valores distintos (1 e -2).
Quando nos deparamos com esse cenário, isso significa que quando bolamos uma equação qualquer no começo, nós não pensamos nas grandezas da maneira correta. Nesse caso, temos que tentar novamente, pois pode ser que tenhamos escolhido grandezas que não conduzem com o problema.
Mas então, quais grandezas deveríamos ter escolhido para fazer a análise dimensional da resultante centrípeta? Lembre-se de que o movimento está numa curva. Isso significa que, muito provavelmente, o raio da curva (R) também vai ter influência nessa equação.
Então, vamos recomeçar, lembrando que o raio é representado por uma grandeza de comprimento:
[Rcp] = ma . vb . θc . Rd
M . L . T-2 = Ma . (L . T-1)b . θc . Rd
M . L . T-2 = Ma . (L . T-1)b . θc . Ld
M . L . T-2 = Ma . Lb+d . T-b . θc . Ld
A conclusão de que c = 0 continua a mesma.
Veja que do lado esquerdo o L está elevado à primeira potência. Já no lado direito, ele está elevado a b + d. Portanto, concluímos que b + d = 1. Da mesma forma, vemos que temos o T elevado a -2 na esquerda e elevado a b na direita, ou seja, -b = -2, então b = 2. Com isso, temos que 2 + d = 1. Logo, d = -1.
Vamos substituir:
Rcp = m1 . v2 . θ0 . R-1
Rcp = m . v2 / R
Exercício sobre Análise Dimensional
Vamos praticar:
Segundo a lei da gravitação de Newton, o módulo F da força gravitacional exercida por uma partícula de massa m1 sobre outra de massa m2, à distância d da primeira, é dada por
F = G . (m1 . m2 ) / d2,
onde G é a constante da gravitação universal. Em termos exclusivos das unidades de base do Sistema Internacional de Unidades (SI), G é expressa em
a) kg-1m3.s-2
b) kg2m-2.s2
c) kg2m-2.s1
d) kg3m3.s-2
e) kg-1m2.s-1
RESOLUÇÃO:
Para começar, temos que isolar G na fórmula. Para isso, é preciso saber a dimensão de cada uma das grandezas informadas na equação.
Assim:
- as massas têm a mesma dimensão: [m1] = [m2] = M
- d significa distância, ou seja, comprimento: [d] = L
- F é força. Para isso, devemos lembrar da nossa tabela: F = m . a ➔ [F] = M . L . T–²
Vamos isolar o G:
G = F . d² / m1 . m2
E agora vamos descobrir a dimensão de G:
[G] = M . L . T² . L² / M . M
[G] = M–¹ . L³ . T–²
Isso posto, temos que saber a grandeza de G. Para isso, temos que:
- M–¹: massa no SI tem unidade quilograma (kg), ou seja, kg-¹.
- L³: comprimento no SI tem unidade metro (m), ou sej2a, m³.
- T–²: tempo no SI tem unidade segundo (S), ou seja, s-².
RESPOSTA: a) kg-1m3.s-2
Espero que você tenha entendido um pouco melhor sobre Sistema Internacional de Unidade e Análise Dimensional. Para conferir essa aula completa em vídeo e a resolução de questões, acesse:
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