Soma vetorial: Regra do Paralelogramo e Método da Linha Poligonal

Regra do paralelogramo

Para estudarmos a soma vetorial, vamos começar pela regra do paralelogramo. A soma pode ser feita com quaisquer vetores: força, campo elétrico, campo magnético, enfim, qualquer vetor que representa uma grande vetorial.

Observe a figura abaixo:

Vamos supor que devemos somar dois vetores: A e B, para obter uma soma S, ou seja, S = A + B. Importante, pessoal: jamais neste tipo de fórmula vamos colocar números. Ela só serve para nos indicar que devemos fazer o desenho de A somado com B.

Para fazer este desenho, temos três técnicas básicas:

  • Dispor dos dois vetores com a mesma origem.
  • Traçar as paralelas: pela ponta do A passa uma paralela a B, e pela ponta do B passa uma paralela a A.
    • Atenção: tem muitos alunos que são meio relaxados ou que simplesmente não sabem desenhar direito e acabam desenhando a linha paralela de maneira errada. Lembre-se de que devemos fazer um paralelogramo, ou seja, os lados opostos devem ser iguais. Portanto, as paralelas que devemos traçar devem ter o mesmo tamanho!
  • Traçar o vetor da resultante: o nosso S deve partir da origem comum até o encontro das paralelas de A e B.

Veja como fica:

Atenção: S = A + B, mas nós não vamos somar valores! Suponha que o A tenha módulo 5 e o B tenha módulo 3. Nosso S não terá módulo 8, necessariamente. Lembrem-se disso.

Para calcularmos o módulo de S, geralmente utilizamos a Lei dos Cossenos. As questões geralmente vão fornecer o ângulo θ que se forma entre os dois vetores (nesse caso, A e B). É esse ângulo que vai determinar o tamanho do vetor da resultante (S).

Atenção: o cálculo pela Lei dos Cossenos neste caso é diferente daquele que aprendemos na Matemática. Veja o gráfico:

Para resolvermos este exemplo com os ensinamentos da Matemática, nós calcularemos o lado oposto ao ângulo α, ou seja, o lado z. Para isso, utilizamos a fórmula:

  • z² = x² + y² – 2 . x . y . cos α

Se aplicarmos essa técnica da Matemática no nosso exemplo da Física, repare como ficaria:

Veja que não temos o ângulo alfa, como teríamos na Matemática, temos apenas a ângulo θ formado entre A e B. Então, se fôssemos considerar o cálculo de acordo com a Matemática, teríamos:

  • S² = A² + B² – 2 . A . B . cos α

Porém, queremos utilizar o ângulo θ, que é o que é geralmente fornecido na Física. E o que fazemos? Nesse caso, temos que considera o fato de que os ângulos α e θ são suplementares, ou seja, a soma de ambos é igual a 180º. Com isso: cos α = – cos θ

A partir disso, podemos combinar as duas fórmulas, ficando com:

  • S² = A² + B² – 2 . A . B . (- cos θ)

É por isso que, na Física, ao utilizarmos a Lei dos Cossenos aplicada diretamente sobre o ângulo θ, o sinal da parte final da equação muda:

  • S² = A² + B² + 2 . A . B . cos θ

Regra do paralelogramo: casos particulares

1º caso: quando θ = 0º

Neste caso, vamos somar diretamente o tamanho dos vetores. Veja:

Vamos aplicar a lei dos cossenos para entender o porquê:

  • S² = A² + B² + 2 . A . B . cos 0º
  • S² = A² + B² + 2 . A . B . 1
  • S² = (A + B)²
  • S = A + B

2º caso: quando θ = 180º

Como queremos descobrir S = A + B, vamos à lei dos cossenos novamente:

  • S² = A² + B² + 2 . A . B . cos 180º
  • S² = A² + B² + 2 . A . B . (-1)
  • S² = A² + B² – 2 . A . B
  • S² = (A – B)²
  • S = A – B

3º caso: quando θ = 90º

Vamos aplicar a lei dos cossenos:

  • S² = A² + B² + 2 . A . B . cos 90º
  • S² = A² + B² + 2 . A . B . 0
  • S² = A² + B²

Método da Linha Poligonal

Suponha que devamos somar o vetor A com o vetor B para seguirmos a fórmula S = A + B:

Diferentemente do método anterior, aqui nós vamos dispor a ponta de um vetor na origem do outro. Além disso, vamos traçar o vetor resultante S partindo da origem do primeiro vetor e terminando na extremidade do último.

Vamos colocar o vetor A saindo do B. Veja:

Neste caso, o que temos é: S = B + A. Repare que poderíamos ter feito o vetor B saindo do A e alcançaríamos o mesmo resultado, ou seja, não importa qual vetor você escolha mexer, os desenhos e resultados finais vão ser equivalentes. Veja:

Este é o momento que muitos alunos me perguntam: mas, Pinguim, por que existem dois métodos de soma vetorial? A resposta é que, enquanto a Regra do Paralelogramo serve para somar apenas dois vetores, o Método da Linha Poligonal pode ser utilizado para somar dois ou mais.

Exemplo: no gráfico abaixo quero calcular a soma dos vetores A, B e C. Ou seja, S = A + B + C

Atenção: para facilitar, já trouxe um exemplo em que a ponta de um vetor já se encaixa na origem do outro. No entanto, caso a questão não esteja disposta dessa maneira, devemos redesenhar o gráfico, assim como fizemos no exemplo acima.

Portanto:

Vamos ver um exemplo que não está pronto:

Como vimos, temos que reorganizá-lo, pois não está seguindo as regras estabelecidas neste método. Ao fazer isso, teremos:

Beleza, organizamos o gráfico. Mas como calculamos o tamanho do vetor da resultante S? Nesses casos, o módulo do vetor S muitas vezes não é dado em ângulo. Em muitas situações, temos que “inventar” um triângulo retângulo em algum lugar.

Vamos seguir neste nosso último exemplo. Repare onde o triângulo retângulo será formado:

Veja que o vetor da resultante S será a hipotenusa do triângulo retângulo amarelo na imagem. Portanto, se você souber quanto mede a base (x) e quanto mede a altura (y) do triângulo, você conseguirá calcular S da mesma forma que a hipotenusa:

  • S² = x² + y²

Método da Linha Poligonal: caso particular

Quando a resultante de três vetores é nula, pode-se construir um triângulo com ele. Assim, um vetor fica com a ponta na origem do outro.

Considere que F1 + F2 + F3 = 0 e veja o exemplo:

Repare que a resultante geralmente preenche o espaço que ficou faltando entre os vetores para completarmos a figura poligonal. Quando temos a informação que a soma dos vetores é igual a zero, então temos que distribuí-los de uma maneira que não haja vetor da resultante, isto é, que a figura se feche em si mesma. Então veja:

Espero que você tenha entendido um pouco melhor sobre a soma vetorial, a regra do paralelogramo e o método da linha poligonal. E se quiser ajuda para melhorar seu nível de Física em outras matérias, entre em contato comigo e escolha o curso de Física mais adequado para você!

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