Decomposição de um vetor em dois eixos

Olá, pessoal, belezinha?

Nesta aula, vamos ver como fazemos a projeção de um vetor em dois eixos. Esse conteúdo é importante, porque, em muitos casos, nos deparamos com vetores inclinados e precisamos saber quanto deste vetor está na horizontal e quanto está na vertical. Portanto, em outras palavras, a projeção de vetor significa a decomposição em dois eixos.

Pegou? Então, bora lá para o conteúdo. Boa aula!

Projeção de um vetor

Para explicarmos a projeção ou decomposição de um vetor, precisamos de dois eixos (vertical e horizontal, geralmente x e y) em cima dos quais vamos projetá-lo. Veja a imagem:

Agora, precisamos projetar o vetor nos dois eixos, como se houvesse uma luz incidindo sobre ele e houvesse uma sombra. Para isso, basta traçarmos uma linha paralela em cada eixo. Observe:

Repare que o ângulo da projeção no eixo x deve ser de 90º.

Para iniciarmos nossos cálculos, vamos imaginar que nos foi dado um ângulo θ, conforme apresentado na imagem:

Evidentemente, temos que usar nossos conhecimentos de triângulos retângulos para iniciar as contas. Em nosso exemplo, basta usarmos seno e cosseno, ficando com:

No entanto, você deve lembrar que, na Matemática, não montamos os cálculos de seno e cosseno com frações, nós isolamos a componente. Assim, ficaremos dessa forma:

A_y = A . senθ

Da mesma forma, vamos usar o cosseno do ângulo θ. Veja:

A_x = A . cosθ

Importante: essas fórmulas não servem para todos os casos. Elas devem ser utilizadas em questões em que é fornecido um ângulo como o do nosso exemplo (com o eixo horizontal).

Projeção de vetores: aplicações

Plano inclinado

Observe a imagem:

Note que, neste caso, ao soltarmos o corpo, ele vai acelerar tangencialmente ao plano inclinado. Então, devemos saber quanto do peso (P) aponta paralelamente aos dois eixos em relação ao plano. Repare que, ao traçar as paralelas (em azul), formamos ângulos de 90º. Veja:

A partir deste momento, podemos desenhar as componentes, que são o peso normal (P_n ou P_y) e o peso tangencial (P_t ou P_x). Observe:

Para calcularmos as componentes, devemos utilizar o ângulo θ que foi fornecido em um dos dois triângulos que foram formados pelos vetores. Para isso, repare que com o vetor do peso (P), podemos formar um grande triângulo retângulo, em que já temos o ângulo θ e o de 90º, faltando apenas descobrir o ângulo que chamei de α:

Lembre-se que θ e α são ângulos complementares, ou seja: α + θ = 90º. Dessa forma, conseguimos formar um triângulo retângulo com o vetor peso (P) e o componente perpendicular ou peso normal (P_n), em que teremos o ângulo θ:

Assim, se queremos calcular P_n, repare que ele é adjacente ao ângulo que já temos, ou seja, usaremos a conta do cosseno. Utilizando nossas fórmulas, chegaremos a:

P_n = P . cosθ

Como consequência, sabemos que a outra componente que queremos descobrir (P_t) exigirá que utilizemos o seno do ângulo, ficando com:

P_t = P . senθ

Balística ou lançamento oblíquo

Observe a imagem:

Neste caso, o vetor da velocidade inicial (v₀) será tangente à trajetória do corpo. No entanto, não nos interessa utilizar este vetor, pois ele varia ao longo da trajetória e tornaria nossos cálculos muito complexos. O que faremos neste exemplo, então, é verificar o quanto da velocidade está para a direita e para cima, decompondo o vetor. Para isso, precisamos traçar as paralelas:

Repare que o vetor v_0x se fixou como cateto adjacente ao ângulo fornecido θ, ou seja:

v_0x = v₀ . cosθ

Já para a componente vertical, você já sabe:

v_0y = v₀ . senθ

Projeção de vetores: exercício resolvido

Determine a intensidade da força resultante para a figura a seguir:

Repare que há três forças distintas atuando sobre o corpo. Assim, precisamos decompor os vetores. Neste caso, devemos nos perguntar: quanto do vetor F está projetado no eixo x (F_x) e quanto está para cima (F_y). Para isso, devemos traçar as paralelas:

Observe que F_x é adjacente ao ângulo θ, teremos que usar cosseno:

F_x = F . cosθ

F_x = 100 . 0,6

F_x = 60 N

Na vertical, usaremos o seno de θ:

F_y = F . senθ

F_y = 100 . 0,8

F_y = 80 N

Agora que decompomos, veja que sobre o corpo estão atuando F₁ para a esquerda (40 N), F₂ para baixo (80 N), F_x para direita (60 N) e F_y para cima (80 N). Repare que as forças verticais se cancelam, uma vez que possuem a mesma intensidade.

Portanto, podemos afirmar que a resultante do eixo y é nula (R_y = 0). Assim, nos sobra descobrir a resultante no eixo x, que será:

R_x = F_x – F₁

R_x = 60 – 40

R_x = 20 N

Como não há força vertical atuante, essa será também nossa resultante final (R_x = R): força horizontal para a direita de 20 N.

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Espero que você tenha compreendido um pouco melhor sobre projeção de vetores em dois eixos. E se quiser ajuda para melhorar seu nível de Física em outras matérias, entre em contato comigo e escolha o curso de Física mais adequado para você!

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