{"id":2710,"date":"2021-05-26T09:00:00","date_gmt":"2021-05-26T12:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/?p=2710"},"modified":"2023-08-06T21:18:01","modified_gmt":"2023-08-07T00:18:01","slug":"decomposicao-de-um-vetor-em-dois-eixos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/decomposicao-de-um-vetor-em-dois-eixos\/","title":{"rendered":"Decomposi\u00e7\u00e3o de um vetor em dois eixos"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ol\u00e1, pessoal, belezinha?<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Nesta aula, vamos ver como fazemos a proje\u00e7\u00e3o de um vetor em dois eixos. Esse conte\u00fado \u00e9 importante, porque, em muitos casos, nos deparamos com vetores inclinados e precisamos saber quanto deste vetor est\u00e1 na horizontal e quanto est\u00e1 na vertical. Portanto, em outras palavras, a proje\u00e7\u00e3o de vetor significa a decomposi\u00e7\u00e3o em dois eixos.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Pegou? Ent\u00e3o, bora l\u00e1 para o conte\u00fado. Boa aula!<\/p>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Proje\u00e7\u00e3o de um vetor<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para explicarmos a proje\u00e7\u00e3o ou decomposi\u00e7\u00e3o de um vetor, precisamos de dois eixos (vertical e horizontal, geralmente x e y) em cima dos quais vamos projet\u00e1-lo. Veja a imagem:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh4.googleusercontent.com\/raQdVmJubJef8xHcyqgMTN9WXh8qT5qXsV9Dku4wUTwWISR3Gsgdlx6JdfUq7cpIMsyekTBPat_qamujjenWzGroxaxhSxL9ZfsNp6B4VEehQWW0SIUzTF0KCPpvuNh2b0myTN2_\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Agora, precisamos projetar o vetor nos dois eixos, como se houvesse uma luz incidindo sobre ele e houvesse uma sombra. Para isso, basta tra\u00e7armos uma linha paralela em cada eixo. Observe:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/h2_s2fWQhATvBZ9kabv-UsAc-xhauGGqMY4nDmMLSurJBHoH3objaFklhp9Z9CJxFgc9n4QOUJQPLipLFX24WurXxgHRcGA5y-Ow8dTEetry1a0zlxCxQWhNH9Nrzmz2vP7zqdYW\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Repare que o \u00e2ngulo da proje\u00e7\u00e3o no eixo x deve ser de 90\u00ba.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para iniciarmos nossos c\u00e1lculos, vamos imaginar que nos foi dado um \u00e2ngulo \u03b8, conforme apresentado na imagem:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/fVqekXbztuTpNNTBsUMdKYV6rX3Mn4ze-VtUhAiX3V2ZYT11R5LWaKo8McD3Bd2YE8HDwBr2ENhJXM5jrGDCw2jgqXJEx1BEfFcQNX8gEhmGiaiuSbSFrxUe_-0pvMKW9f2yC9kO\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Evidentemente, temos que usar nossos conhecimentos de tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos para iniciar as contas. Em nosso exemplo, basta usarmos seno e cosseno, ficando com:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/pajr0LjbNHGKEQNpNB_2gcrivcRI53C3n4GjjJ1h8067aCoEASZ3owJJglOnnhYRPMOG4FVRmlBv429gO9XwbGtXuCtALoL2hVq79M2XwzHr4QHupQAEBAbe8kdpN_WNt_1HKXEN\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh4.googleusercontent.com\/_k5a1cyL58QXLho21S8bVNhfqw72SBrTQ_Qekfo7GPV_AWOYLknsJRp-qDFPymiGJAKRg9umyksF3WrWkqXQ0t5qYr7eTscjzLiJts86OTcOWE_bPrHGsrluMS_rXGjB9PCWZ3Fo\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">No entanto, voc\u00ea deve lembrar que, na Matem\u00e1tica, n\u00e3o montamos os c\u00e1lculos de seno e cosseno com fra\u00e7\u00f5es, n\u00f3s isolamos a componente. Assim, ficaremos dessa forma:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>A<\/strong><strong><sub>y <\/sub><\/strong><strong>= A . sen\u03b8<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Da mesma forma, vamos usar o cosseno do \u00e2ngulo \u03b8. Veja:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh4.googleusercontent.com\/oTAPjPChnLVj9z3UhPMrdpCKDHDk8Q2yTAwTHbOVQc5BNVRc8-aHo5bV5heI6I4uFx780FzvBGo7KGkgLmt-DTc0lYxhZBLZ2oshGBacix5NYKfE54TZ6qpBRgoUAcfOp7vCqUKo\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/GVZmx2NkDolSwEJdMLlE3F4bmmWnEF9CRRoG9dI0TxVeGDESaZHJO_J6BO9nWi6VB4JSGrgIzUeOWnbFeSSLjvFaUKJq5xUWb3Uj1Mrc3dBSswRJ3ae8VxJuwMgY1CzQQfAR6Vk4\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>A<\/strong><strong><sub>x <\/sub><\/strong><strong>= A . cos\u03b8<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Importante: essas f\u00f3rmulas n\u00e3o servem para todos os casos. Elas devem ser utilizadas em quest\u00f5es em que \u00e9 fornecido um \u00e2ngulo como o do nosso exemplo (com o eixo horizontal).<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Proje\u00e7\u00e3o de vetores: aplica\u00e7\u00f5es<\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Plano inclinado<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Observe a imagem:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh4.googleusercontent.com\/R3slW9ObRvDiM0WVkj7XDLox3QA4pTaMhPlSpkkDO95wzjIwdRG-HWuOEhLym3SMamaEAkp-NUIRu7Yy8X591SMa0_kQiJv3hBkv68izKSKTS1sWA0WYn8r8AuuD_uRNicoo-zC0\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Note que, neste caso, ao soltarmos o corpo, ele vai acelerar tangencialmente ao plano inclinado. Ent\u00e3o, devemos saber quanto do peso (P) aponta paralelamente aos dois eixos em rela\u00e7\u00e3o ao plano. Repare que, ao tra\u00e7ar as paralelas (em azul), formamos \u00e2ngulos de 90\u00ba. Veja:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/AaEacobNWRM_BKYJgVAbeDUAccE18CJTqAVi_G84LzsifqmOI30rnZDNIWCJi5KF2aCgsb_Y4rtItXfQNBqXtvTu5MFXRnjnBRHJNtUBbX2tYTDNZ_ZXrxyGzRVOQxd11l9EJeT_\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">A partir deste momento, podemos desenhar as componentes, que s\u00e3o o peso normal (P<sub>n<\/sub> ou P<sub>y<\/sub>) e o peso tangencial (P<sub>t<\/sub> ou P<sub>x)<\/sub>. Observe:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/FpS_AjlBdfn7AMJC7RUiCV5qd1qr8GBMOLBPAP84gy_wGz0pj2hWHqiPgSxAE9oXFqCvleTlkNdbjPd_TXqWpiKHd-chcFFollfWHFKBrAwjEuQGeyJc52itPYmA4VDnJffZ9t5n\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para calcularmos as componentes, devemos utilizar o \u00e2ngulo \u03b8 que foi fornecido em um dos dois tri\u00e2ngulos que foram formados pelos vetores. Para isso, repare que com o vetor do peso (P), podemos formar um grande tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, em que j\u00e1 temos o \u00e2ngulo \u03b8 e o de 90\u00ba, faltando apenas descobrir o \u00e2ngulo que chamei de \u03b1:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/E2eyurSE_-Pp4lxYzRkvidJe-MngGZe8MuHmPEWQT_Wo6nxBOmQPFF-ZT1LT8gS9pcp457dkve1Y9ka9cHo2PBUAoqq7L0VNc5ewGrO-u71fYXcYcaC9RLKEdGFZbrYeRkSdyWyC\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Lembre-se que \u03b8 e \u03b1 s\u00e3o \u00e2ngulos complementares, ou seja: \u03b1 + \u03b8 = 90\u00ba. Dessa forma, conseguimos formar um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo com o vetor peso (P) e o componente perpendicular ou peso normal (P<sub>n<\/sub>), em que teremos o \u00e2ngulo \u03b8:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/N9MC75Ya9I9aLeVTAZyBMoxGbdGWeFboZq6zFdmaTCD9VHOxTFi4eG1yEyQWeJLS7O7zTL5sxd6V2v__xJfMqwUOUmz5afhc6UkRA1NtJ7OlsDdbzrJf-Y8eNaaHs1joQclvsEb5\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Assim, se queremos calcular P<sub>n<\/sub>, repare que ele \u00e9 adjacente ao \u00e2ngulo que j\u00e1 temos, ou seja, usaremos a conta do cosseno. Utilizando nossas f\u00f3rmulas, chegaremos a:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">P<sub>n<\/sub> = P . cos\u03b8<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Como consequ\u00eancia, sabemos que a outra componente que queremos descobrir (P<sub>t<\/sub>) exigir\u00e1 que utilizemos o seno do \u00e2ngulo, ficando com:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">P<sub>t<\/sub> = P . sen\u03b8<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Bal\u00edstica ou lan\u00e7amento obl\u00edquo<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Observe a imagem:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/2hezs4PERTTYeA_C-eL5BDi5hbR2ES4e1Q49WG7kBLlN3HT7fC8BmbT5zgZHCl6tMLIHEX6XihnrGY6WMTAa2TSdrjLf3vukAVZpW6NkQ81nkhQYbUVKqzIWvYwZSzKdos6UA07g\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Neste caso, o vetor da velocidade inicial (v<sub>0<\/sub>) ser\u00e1 tangente \u00e0 trajet\u00f3ria do corpo. No entanto, n\u00e3o nos interessa utilizar este vetor, pois ele varia ao longo da trajet\u00f3ria e tornaria nossos c\u00e1lculos muito complexos. O que faremos neste exemplo, ent\u00e3o, \u00e9 verificar o quanto da velocidade est\u00e1 para a direita e para cima, decompondo o vetor. Para isso, precisamos tra\u00e7ar as paralelas:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/OaTYSYq89jF9G4xlUYjN2gsq-0x2LYPPomC0GVrxVL8QIuWzqPcr8121ZygfZv2bBQQa6Nb-8o_KDPED-3BXP7K_wYfoSI_TiKgjqcFRN_cy06sYOc11vZ2v45wZSb91rkpkvrBS\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Repare que o vetor v<sub>0x<\/sub> se fixou como cateto adjacente ao \u00e2ngulo fornecido \u03b8, ou seja:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">v<sub>0x<\/sub> = v<sub>0<\/sub> . cos\u03b8<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">J\u00e1 para a componente vertical, voc\u00ea j\u00e1 sabe:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">v<sub>0y<\/sub> = v<sub>0<\/sub> . sen\u03b8<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Proje\u00e7\u00e3o de vetores: exerc\u00edcio resolvido<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Determine a intensidade da for\u00e7a resultante para a figura a seguir:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/oDtUjtwoXB3QEwvFq3jxoC_wEiJjqxr0HD5H-7v2ERc6IPwxlXryv_0L1AdGSw5CUaeK-rUXe8SiUUNr7sQj23yvxVPETi_bv7PUpZpiWf8Mxaliug1PUylmnapelLSbXAzF9tvM\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Repare que h\u00e1 tr\u00eas for\u00e7as distintas atuando sobre o corpo. Assim, precisamos decompor os vetores. Neste caso, devemos nos perguntar: quanto do vetor F est\u00e1 projetado no eixo x (F<sub>x<\/sub>) e quanto est\u00e1 para cima (F<sub>y<\/sub>). Para isso, devemos tra\u00e7ar as paralelas:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/GpkbYCQCweRQAiNDS7G72U7cqcXJ31IznfiIrjLUpOBaVk-Opm5jGhWc95xRNg600JR8f5JV75aNfoUDpzQpcnXIPEXyMRFGa7eejQ83yl7Ze0XaE0EKNM5EYLQ4oRbH9ZGBWjsJ\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Observe que F<sub>x<\/sub> \u00e9 adjacente ao \u00e2ngulo \u03b8, teremos que usar cosseno:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">F<sub>x<\/sub> = F . cos\u03b8<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">F<sub>x<\/sub> = 100 . 0,6<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">F<sub>x<\/sub> = 60 N<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Na vertical, usaremos o seno de \u03b8:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">F<sub>y<\/sub> = F . sen\u03b8<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">F<sub>y<\/sub> = 100 . 0,8<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">F<sub>y<\/sub> = 80 N<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Agora que decompomos, veja que sobre o corpo est\u00e3o atuando F<sub>1<\/sub> para a esquerda (40 N), F<sub>2<\/sub> para baixo (80 N), F<sub>x<\/sub> para direita (60 N) e F<sub>y<\/sub> para cima (80 N). Repare que as for\u00e7as verticais se cancelam, uma vez que possuem a mesma intensidade.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Portanto, podemos afirmar que a resultante do eixo y \u00e9 nula (R<sub>y<\/sub> = 0). Assim, nos sobra descobrir a resultante no eixo x, que ser\u00e1:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">R<sub>x<\/sub> = F<sub>x<\/sub> &#8211; F<sub>1<\/sub><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">R<sub>x<\/sub> = 60 &#8211; 40<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">R<sub>x<\/sub> = 20 N<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Como n\u00e3o h\u00e1 for\u00e7a vertical atuante, essa ser\u00e1 tamb\u00e9m nossa resultante final (R<sub>x<\/sub> = R): for\u00e7a horizontal para a direita de 20 N.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">&#8211;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Espero que voc\u00ea tenha compreendido um pouco melhor sobre proje\u00e7\u00e3o de vetores em dois eixos. E se quiser ajuda para melhorar seu n\u00edvel de F\u00edsica em outras mat\u00e9rias, <a href=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/\">entre em contato comigo e escolha o curso de F\u00edsica mais adequado para voc\u00ea<\/a>!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Tem d\u00favidas de como funciona a minha plataforma e a minha metodologia de ensino? <strong><a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"https:\/\/conteudo.professorpinguim.com.br\/experimente-plataforma\" target=\"_blank\">Clique aqui<\/a> <\/strong>e acesse gratuitamente os m\u00f3dulos de <strong>Cinem\u00e1tica <\/strong>e <strong>\u00d3ptica<\/strong> do meu <strong>&nbsp;SEMIEXTENSIVO exclusivo para FUVEST, UNICAMP, UNESP E UNIFESP. <\/strong>Tenho certeza que vai mudar a sua vida.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/07\/BannerBlog_728x90.png\" alt=\"O atributo alt desta imagem est\u00e1 vazio. O nome do arquivo \u00e9 BannerBlog_728x90.png\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Me acompanhe nas redes sociais: curta a minha&nbsp;<a href=\"https:\/\/www.facebook.com\/professorpinguim\/\"><strong>p\u00e1gina no Facebook<\/strong><\/a><strong>,<\/strong>&nbsp;me&nbsp;siga no&nbsp;<a href=\"https:\/\/www.instagram.com\/professorpinguim\/\"><strong>Instagram<\/strong><\/a><strong>,<\/strong>&nbsp;se inscreva no&nbsp;<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/c\/PinguimV%C3%ADdeoF%C3%ADsica\/?sub_confirmation=1\"><strong>Youtube<\/strong><\/a>&nbsp;e participe do meu canal oficial no&nbsp;<strong><a href=\"http:\/\/professorpinguim.com.br\/telegram\">Telegram<\/a><\/strong>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ol\u00e1, pessoal, belezinha? Nesta aula, vamos ver como fazemos a proje\u00e7\u00e3o de um vetor em dois eixos. 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