{"id":2663,"date":"2021-04-07T09:00:00","date_gmt":"2021-04-07T12:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/?p=2663"},"modified":"2023-08-06T21:18:33","modified_gmt":"2023-08-07T00:18:33","slug":"movimento-harmonico-simples","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/movimento-harmonico-simples\/","title":{"rendered":"Movimento Harm\u00f4nico Simples"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ol\u00e1, pessoal, tudo bem?<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Nesta aula, vamos falar sobre o famoso MHS &#8211; ou Movimento Harm\u00f4nico Simples &#8211; e determinar as equa\u00e7\u00f5es que podem ser utilizadas para resolver esse tipo de quest\u00e3o. Bons estudos!<\/p>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Movimento Harm\u00f4nico Simples<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">A primeira coisa que devemos ter em mente \u00e9 que todo Movimento Harm\u00f4nico Simples \u00e9 peri\u00f3dico (que se repete em intervalos de tempo iguais) e oscilat\u00f3rio (que inverte de sentido).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Veja as figuras dos nossos exemplos e repare que todos se encaixam nas caracter\u00edsticas que citamos acima: peri\u00f3dicos e oscilat\u00f3rios:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/KwTwKyYVBHggvx9qnkwy7wI-atoSTvV7kLc0wO5RWEJOpnA9rtRZunn-vaDP0JfOv5n8XQrhkPx6PtgdRmwPHFTbN2w6VYMANoyqoH_vjiKZpPicot2_KrSnixQ3yyaGjUHBt_vE\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh4.googleusercontent.com\/8xvLaPqTcOBa6VBWov8mgbGKGjtPj-c0eSgrfVbnDz44eXM4ISGssVhuo__NnCWkEgtDvj1Z2ot_2ts4qjTtde5FuyM4W4aXtI1ttVSJC_FCv_KfXzUCEQC2FJXInYRdvXlE4ihU\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/tVFmeiaoY4bIk4d6MpE8y_u1d4jaEVQ1o4UfieD7T3mCkqSzx7FoAVB0seFgIEHt0noIf1d7VieCKWlvgYzLc5Y34gu4Xah9lx0yrrm8P5qcZMnN8VuB4ednvqYP6ypvmdk5CqaR\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Vale dizer que o mais importante para os vestibulares \u00e9 o primeiro exemplo, o oscilador de massa-mola. Por isso, para estudarmos o MHS, vamos nos basear no seguinte experimento: um corpo de massa atado a uma mola de constante el\u00e1stica k. Veja as figuras:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/6rv8aG2lAE8R8_4zp-9g3aAb9GpEMEPRXheKJiKCmfya8JvPoWqf99RTzGiHGMBPWYiW3gxgIFNZJpsfqJNisg15_a1EHw00kOGceXCGZocId3b5tULAmBOiX_WvaOmeAic0cHON\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh4.googleusercontent.com\/I4gueilqFI0hLJ2iS_qLdkUM0ivLjrII73_2c3jk9Ron1iMkU1z10VPaBjOO-EtKd_JUBQBYc2qbPH-FnMs-M5AOLeM8VgmISVU8RST7dXx1IHlLVyElw_S3OmJ05u_nMh2nPbrh\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Importante: <\/strong>todo MHS est\u00e1 sujeito a uma for\u00e7a restauradora, que \u00e9 uma for\u00e7a que sempre tenta trazer o corpo para o centro.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Cinem\u00e1tica do MHS: como determinar fun\u00e7\u00f5es hor\u00e1rias<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">As figuras abaixo representam o ciclo do movimento: quando o corpo sai do centro, se desloca para um lado, volta a passar pelo centro, se desloca para o lado oposto e passa novamente pelo centro no mesmo sentido em que come\u00e7ou o movimento. Veja:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/0gQvm2M-ax9cwCzp9W4qr-TOHNT2A0ghB6rhsowOG-DM9gtaScJ3C2ROhp-Fx4Rt_X4UP1g9j_2F8sIvI4KdJ1wrdfOiwCtWJci2_Tc8M65WYgJ2RacoaIOJV3I9OC8OfAIxGe-_\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Neste tempo (\u0394t = T) dizemos que ele gasta um per\u00edodo do movimento, isto \u00e9, o intervalo de tempo que leva para descrever uma oscila\u00e7\u00e3o completa.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Aprender a cinem\u00e1tica do MHS \u00e9 aprender a determinar as seguintes equa\u00e7\u00f5es:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>Posi\u00e7\u00e3o em fun\u00e7\u00e3o do tempo: <strong>x = f(t)<\/strong><\/li><li>Velocidade em fun\u00e7\u00e3o do tempo: <strong>v = f(t)<\/strong><\/li><li>Acelera\u00e7\u00e3o em fun\u00e7\u00e3o do tempo: <strong>a = f(t)<\/strong><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para determinarmos as equa\u00e7\u00f5es que citamos do MHS, precisamos fazer uma analogia com o Movimento Circular Uniforme (MCU). A figura abaixo representa um corpo (bolinha lil\u00e1s) girando no ar (MCU) e a sua sombra projetada no ch\u00e3o (MHS). Veja:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/m_86CfDdoJDjxQJqDh4Fecxpj9iJgaGVifZS5309hZXLgM-Z84aOcXHTnSw8CyIUQ4UiHr5_nsfktet8-WBlZE6PLDTxJGNJ2y_GaOoZ2fR3qY2_Zse49-8_qj2DFo49a8UhPKe8\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Mas o que esses dois movimentos t\u00eam em comum: o raio do objeto que gira em MCU \u00e9 igual \u00e0 amplitude do MHS (R = A). A amplitude (A) est\u00e1 relacionada com a energia do movimento, ou seja, quanto mais amplitude, mais energia.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Outra rela\u00e7\u00e3o importante \u00e9 que o per\u00edodo do MCU \u00e9 igual ao per\u00edodo do MHS (T<sub>MCU<\/sub> = T<sub>MHS<\/sub>).<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Revis\u00e3o MCU: equa\u00e7\u00e3o hor\u00e1rio angular<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para entender o MHS, precisamos revisar o MCU. Isso \u00e9 fundamental tamb\u00e9m porque muitos alunos aprendem o MCU sem compreender direito o que \u00e9 a equa\u00e7\u00e3o hor\u00e1ria de formato angular.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Todo movimento uniforme obedece a uma equa\u00e7\u00e3o b\u00e1sica: <strong>S = S<\/strong><strong><sub>0<\/sub><\/strong><strong> + v . t<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Agora observe a figura:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/5xmLFzAM55wrsHf1laVRkLyOEJN2HR_0sJPkeje0U_RD5Spj7gQ4tMPXyh_U-HhWrHze_KUI_PicbKy_Rumg73kR6dfxfct1boBlls62DTdENtp8PsTg5iPEUMN5HPxhqWU_l9zQ\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">O \u00e2ngulo central est\u00e1 indicado na figura pela letra grega \u03d5 (fi). Quando falamos de MHS, esse \u00e2ngulo recebe o nome de fase e \u00e9 medido em radiano. O \u00e2ngulo em quest\u00e3o pode ser definido pelo arco da circunfer\u00eancia dividido pelo raio &#8211; repare que o arco \u00e9 uma posi\u00e7\u00e3o (S). Ent\u00e3o, tomando emprestado da Matem\u00e1tica, sabemos que:<strong> \u03d5 = S \u00f7 R<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Agora, vamos pegar a equa\u00e7\u00e3o do movimento uniforme e dividir os dois lados pelo raio da nossa circunfer\u00eancia. Assim, teremos: <strong>(S \u00f7 R) = (S<\/strong><strong><sub>0<\/sub><\/strong><strong> \u00f7 R) + (v . t \u00f7 R)<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Por\u00e9m, repare: vimos que quando dividimos o arco pelo raio, temos o \u00e2ngulo, certo? Guarde essa informa\u00e7\u00e3o. Agora, lembre-se de que no movimento uniforme existem dois tipos de velocidade: velocidade linear (v) e a velocidade angular (\u03c9). Existe uma rela\u00e7\u00e3o entre essas duas velocidades, que nos d\u00e1 a seguinte f\u00f3rmula: <strong>v = \u03c9 . R<\/strong>. Se rearranjar se a equa\u00e7\u00e3o, temo <strong>V \u00f7 R = \u03c9.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Portanto, com essas informa\u00e7\u00f5es em mente, nossa equa\u00e7\u00e3o ficaria: <strong>\u03d5 = \u03d5<\/strong><strong><sub>0<\/sub><\/strong><strong> + \u03c9 . t. <\/strong>E essa \u00e9 a tal equa\u00e7\u00e3o hor\u00e1ria no formato angular.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Posi\u00e7\u00e3o no MHS<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">A equa\u00e7\u00e3o da posi\u00e7\u00e3o em fun\u00e7\u00e3o do tempo \u00e9: x = f(t). Agora, veja a figura e suponha que a bolinha esteja em movimento circulares no sentido anti-hor\u00e1rio (para a esquerda). Como vimos, onde ela estiver, projetamos sua imagem no ch\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh4.googleusercontent.com\/sCmeKHR4BHTkkg6565NbSwfafum-AfwPRdJzxmYT13UQAia1Qk_WgTgJ4xQBMNQkWP2NwzL0MklERyDE_jsNxg9FKfHbAU-Eix2IM8aNccrkZxXBKhJpIhk4eVn709Td0VzhF_nb\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Mas como fazemos isso? Lembre que raio (R) \u00e9 igual a amplitude (A) e que o \u00e2ngulo \u00e9 dado. O x da equa\u00e7\u00e3o acima \u00e9 o espa\u00e7o entre o centro e a proje\u00e7\u00e3o no ch\u00e3o. Veja:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh4.googleusercontent.com\/4ZwNt17qbQfmjB13u2iPvdZjwl5l09HL8Q4TpxMIk6PfJiEK184-33RPXAFgDj3dmn1oFELPZ3_q9EaydYDuDJNKDiTP1Cn9CPTe2lm0uIL7PVQETttxB-_D8ZSmSXumgaJJrXEj\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Repare que formamos um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, cuja base \u00e9 o mesmo x que projetamos no ch\u00e3o. Este \u00e9 o nosso cateto adjacente, pois est\u00e1 ao lado do \u00e2ngulo. Portanto, podemos usar o cosseno do \u00e2ngulo \u03d5 para descobrir x. Acompanhe:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>cos\u03d5 = x \u00f7 A<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>x = A . cos\u03d5<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Mas quanto vale nosso \u00e2ngulo, se o objetivo est\u00e1 em constante movimento? Vimos nesta aula que o \u00e2ngulo \u03d5 tem uma equa\u00e7\u00e3o que o define: <strong>\u03d5 = \u03d5<\/strong><strong><sub>0<\/sub><\/strong><strong> + \u03c9 . t<\/strong>. Ent\u00e3o, a equa\u00e7\u00e3o da posi\u00e7\u00e3o do MHS fica assim:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>x = A . cos (\u03d5<\/strong><strong><sub>0<\/sub><\/strong><strong> + \u03c9 . t)<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Velocidade no MHS<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Lembremos que a f\u00f3rmula da velocidade em fun\u00e7\u00e3o do tempo \u00e9: <strong>v = f(t)<\/strong>. Agora, veja a figura:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/2iJxuxZIdo9mqpyuzeUof4ficxuJi7t-CMSBXldngGfM8btMScKIOQcBJfuRZA0D7zvwwUcH2Z5rF4b06AA4xy7RSlIWQsS9o9TfmBRdtDZLeUsgxBqEBCum9Laqr1hmG42EWShf\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para determinar esse vetor, precisamos novamente projet\u00e1-lo no ch\u00e3o. Para ficar mais f\u00e1cil, vamos sinalizar esse mesmo vetor onde formaremos nosso tri\u00e2ngulo. Repare que o \u00e2ngulo \u03d5 ser\u00e1 formado junto ao vetor.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">O \u00e2ngulo entre o raio e o vetor \u00e9 de 90\u00ba. Como j\u00e1 temos o \u00e2ngulo \u03d5, ent\u00e3o o \u00e2ngulo \u03b1 complementar vai ser 90 &#8211; \u03d5. Tornando mais f\u00e1cil, temos que \u03b1 + \u03d5 = 90\u00ba. Portanto, pode concluir que o \u00e2ngulo formado no v\u00e9rtice superior do nosso tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo \u00e9 \u03d5, pois s\u00e3o \u00e2ngulos complementares.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Veja:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/awfg1OfVGgJ-QOf1-j_rWrqsNBZyi_J7YyXMuv4JcaSmPEU1rS1zVa9A06-chjT-rABh7ismZTMb0MyjaRHPFeMt6KZFrOoQXSmPYEj5IH9vj-wPLJw2REKCnYHicI57Se80d1_o\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Repare que o vetor da velocidade do MHS \u00e9 oposto ao \u00e2ngulo \u03d5, ou seja, podemos utilizar o seno: <strong>sen\u03d5 = |V<\/strong><strong><sub>MHS<\/sub><\/strong><strong>| \u00f7 |V<\/strong><strong><sub>MCU<\/sub><\/strong><strong>|. <\/strong>Perceba, por\u00e9m, que quem est\u00e1 no MCU tem velocidade dada pela f\u00f3rmula <strong>V<\/strong><strong><sub>MCU<\/sub><\/strong><strong> = \u03c9 . R<\/strong>. Como vimos, o raio \u00e9 igual \u00e0 amplitude (A). Ent\u00e3o: <strong>|V<\/strong><strong><sub>MHS<\/sub><\/strong><strong>| = \u03c9 . A . sen\u03d5<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">S\u00f3 que encontramos um problema. Lembre-se da Matem\u00e1tica, a fun\u00e7\u00e3o seno \u00e9 positiva nos dois quadrantes superiores e negativa nos inferiores. Perceba que, embora o seno seja positivo, o vetor da velocidade est\u00e1 apontando para a esquerda, indo contra a trajet\u00f3ria. Ent\u00e3o, nesse quadrante, a V<sub>MHS<\/sub> tem que ser negativa. Ent\u00e3o, anote a\u00ed: VMHS e sen\u03d5 t\u00eam sempre sinais opostos. Portanto: <strong>V<\/strong><strong><sub>MHS<\/sub><\/strong><strong> = &#8211; \u03c9 . A . sen\u03d5<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Mas lembre que \u03d5 = \u03d5<sub>0<\/sub> + \u03c9 . t. Assim, a equa\u00e7\u00e3o da velocidade no MHS \u00e9:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>V<\/strong><strong><sub>MHS<\/sub><\/strong><strong> = &#8211; \u03c9 . A . sen (\u03d5<\/strong><strong><sub>0<\/sub><\/strong><strong> + \u03c9 . t)<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Acelera\u00e7\u00e3o no MHS<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Lembre-se de que a f\u00f3rmula da acelera\u00e7\u00e3o em fun\u00e7\u00e3o do tempo \u00e9: <strong>a = f(t)<\/strong>. Agora, veja a figura:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh4.googleusercontent.com\/Ibs5whGGk80pljdKTDsJLW9yH-2fkWVZ7ItWqqeuBF9NJHwedAknuWCR_1knyPHVBZhmotzRtldle2_zyrZG7Mj03EsO1e7narZ3ijVGsId4__kVKO6U7FR-GwceKrUSvIZXlqYQ\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Novamente, precisamos projetar no ch\u00e3o. Lembremos que o movimento circular tem uma acelera\u00e7\u00e3o centr\u00edpeta, calculada por <strong>\u03c9\u00b2 . R.<\/strong> Veja que a equa\u00e7\u00e3o da acelera\u00e7\u00e3o no MHS ser\u00e1 dada pelo vetor sinalizado em azul, formando um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo com o nosso \u00e2ngulo \u03d5. Veja:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/R6MVW6L5SImoY4q7ABmhm764XTtAlp-ftqdgCiblvu09ACUjfXpuCmSJD-FJNaxT8okYCY3znIoLd8TqYYpTsnaqx1TJOdg97iFWOfAcWIVtx7JlEE5yhP_HLcaczI7z64hBNvsR\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Nesse caso, podemos utilizar o cosseno: <strong>cos\u03d5 = |a<\/strong><strong><sub>MHS<\/sub><\/strong><strong>| \u00f7 a<\/strong><strong><sub>MCU<\/sub><\/strong>. Trocando a acelera\u00e7\u00e3o do MCU pela f\u00f3rmula que vimos acima, teremos:<strong> |a<\/strong><strong><sub>MHS<\/sub><\/strong><strong>| = \u03c9\u00b2 . A . cos\u03d5<\/strong>. Por\u00e9m, assim como aconteceu com o c\u00e1lculo da velocidade, temos aqui um problema de sinal, pois nos quadrantes em que o cosseno por positivo, a acelera\u00e7\u00e3o ser\u00e1 negativa. Portanto, termos: <strong>a<\/strong><strong><sub>MHS<\/sub><\/strong><strong> = &#8211; \u03c9\u00b2 . A . cos\u03d5<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Por fim, vamos lembrar de substituir o \u03d5 pela sua f\u00f3rmula. Assim, a f\u00f3rmula da acelera\u00e7\u00e3o no MHS \u00e9:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>a<\/strong><strong><sub>MHS<\/sub><\/strong><strong> = &#8211; \u03c9\u00b2 . A . cos (\u03d5<\/strong><strong><sub>0<\/sub><\/strong><strong> + \u03c9 . t)<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>&#8211;<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Confira minha videoaula sobre o assunto<\/strong> \ud83d\udc47<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed-youtube wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<iframe title=\"Impulso e Quantidade de Movimento - Num trecho plano - F\u00edsica - Professor Pinguim\" width=\"800\" height=\"450\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/JQo6k2Jbkh8?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Espero que voc\u00ea tenha entendido um pouco melhor sobre <strong>Movimento Harm\u00f4nico Simples<\/strong>. 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