{"id":2500,"date":"2021-01-21T09:00:00","date_gmt":"2021-01-21T12:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/?p=2500"},"modified":"2023-08-06T21:18:44","modified_gmt":"2023-08-07T00:18:44","slug":"soma-vetorial-regra-do-paralelogramo-e-metodo-da-linha-poligonal","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/soma-vetorial-regra-do-paralelogramo-e-metodo-da-linha-poligonal\/","title":{"rendered":"Soma vetorial: Regra do Paralelogramo e M\u00e9todo da Linha Poligonal"},"content":{"rendered":"\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Regra do paralelogramo<\/h2>\n\n\n\n<p>Para estudarmos a soma vetorial, vamos come\u00e7ar pela regra do paralelogramo. A soma pode ser feita com quaisquer vetores: for\u00e7a, campo el\u00e9trico, campo magn\u00e9tico, enfim, qualquer vetor que representa uma grande vetorial.<\/p>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n\n<p>Observe a figura abaixo:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"192\" height=\"133\" src=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/regra-do-paralelogramo.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2501\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Vamos supor que devemos somar dois vetores: A e B, para obter uma soma S, ou seja, <strong>S = A + B<\/strong>. Importante, pessoal: <strong>jamais neste tipo de f\u00f3rmula vamos colocar n\u00fameros<\/strong>. Ela s\u00f3 serve para nos indicar que devemos fazer o desenho de A somado com B.<\/p>\n\n\n\n<p>Para fazer este desenho, temos tr\u00eas t\u00e9cnicas b\u00e1sicas:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>Dispor dos dois vetores com a mesma origem.<\/li><li>Tra\u00e7ar as paralelas: pela ponta do A passa uma paralela a B, e pela ponta do B passa uma paralela a A.<ul><li><strong>Aten\u00e7\u00e3o: <\/strong>tem muitos alunos que s\u00e3o meio relaxados ou que simplesmente n\u00e3o sabem desenhar direito e acabam desenhando a linha paralela de maneira errada. Lembre-se de que devemos fazer um paralelogramo, ou seja, os lados opostos devem ser iguais. Portanto, as paralelas que devemos tra\u00e7ar devem ter o mesmo tamanho!<\/li><\/ul><\/li><li>Tra\u00e7ar o vetor da resultante: o nosso S deve partir da origem comum at\u00e9 o encontro das paralelas de A e B.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Veja como fica:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"299\" height=\"129\" src=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/regra-do-paralelogramo-1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2502\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p><strong>Aten\u00e7\u00e3o:<\/strong> S = A + B, mas n\u00f3s n\u00e3o vamos somar valores! Suponha que o A tenha m\u00f3dulo 5 e o B tenha m\u00f3dulo 3. Nosso S n\u00e3o ter\u00e1 m\u00f3dulo 8, necessariamente. Lembrem-se disso.<\/p>\n\n\n\n<p>Para calcularmos o m\u00f3dulo de S, geralmente utilizamos a <strong>Lei dos Cossenos<\/strong>. As quest\u00f5es geralmente v\u00e3o fornecer o \u00e2ngulo \u03b8 que se forma entre os dois vetores (nesse caso, A e B). \u00c9 esse \u00e2ngulo que vai determinar o tamanho do vetor da resultante (S).<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Aten\u00e7\u00e3o: <\/strong>o c\u00e1lculo pela Lei dos Cossenos neste caso \u00e9 diferente daquele que aprendemos na Matem\u00e1tica. Veja o gr\u00e1fico:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"292\" height=\"137\" src=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/lei-dos-cossenos.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2503\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Para resolvermos este exemplo com os ensinamentos da Matem\u00e1tica, n\u00f3s calcularemos o lado oposto ao \u00e2ngulo \u03b1, ou seja, o lado z. Para isso, utilizamos a f\u00f3rmula:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li><strong>z\u00b2 = x\u00b2 + y\u00b2 &#8211; 2 . x . y . cos \u03b1<\/strong><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Se aplicarmos essa t\u00e9cnica da Matem\u00e1tica no nosso exemplo da F\u00edsica, repare como ficaria:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"279\" height=\"139\" src=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/regra-do-paralelogramo-2.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2504\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Veja que n\u00e3o temos o \u00e2ngulo alfa, como ter\u00edamos na Matem\u00e1tica, temos apenas a \u00e2ngulo \u03b8 formado entre A e B. Ent\u00e3o, se f\u00f4ssemos considerar o c\u00e1lculo de acordo com a Matem\u00e1tica, ter\u00edamos:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li><strong>S\u00b2 = A\u00b2 + B\u00b2 &#8211; 2 . A . B . cos \u03b1<\/strong><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Por\u00e9m, queremos utilizar o \u00e2ngulo \u03b8, que \u00e9 o que \u00e9 geralmente fornecido na F\u00edsica. E o que fazemos? Nesse caso, temos que considera o fato de que os \u00e2ngulos \u03b1 e \u03b8 s\u00e3o suplementares, ou seja, a soma de ambos \u00e9 igual a 180\u00ba. Com isso: <strong>cos \u03b1 = &#8211; cos \u03b8<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>A partir disso, podemos combinar as duas f\u00f3rmulas, ficando com:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li><strong>S\u00b2 = A\u00b2 + B\u00b2 &#8211; 2 . A . B . (- cos \u03b8)<\/strong><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>\u00c9 por isso que, na F\u00edsica, ao utilizarmos a Lei dos Cossenos aplicada diretamente sobre o \u00e2ngulo \u03b8, o sinal da parte final da equa\u00e7\u00e3o muda:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li><strong>S\u00b2 = A\u00b2 + B\u00b2 + 2 . A . B . cos \u03b8<\/strong><\/li><\/ul>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Regra do paralelogramo: casos particulares<\/h3>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\">1\u00ba caso: quando \u03b8 = 0\u00ba<\/h4>\n\n\n\n<p>Neste caso, vamos somar diretamente o tamanho dos vetores. Veja:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"297\" height=\"115\" src=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/regra-do-paralelogramo-casos-particulares.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2505\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Vamos aplicar a lei dos cossenos para entender o porqu\u00ea:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>S\u00b2 = A\u00b2 + B\u00b2 + 2 . A . B . cos 0\u00ba<\/li><li>S\u00b2 = A\u00b2 + B\u00b2 + 2 . A . B . 1<\/li><li>S\u00b2 = (A + B)\u00b2<\/li><li><strong>S = A + B<\/strong><\/li><\/ul>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\">2\u00ba caso: quando \u03b8 = 180\u00ba<\/h4>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"299\" height=\"102\" src=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/regra-do-paralelogramo-casos-particulares-1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2506\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Como queremos descobrir S = A + B, vamos \u00e0 lei dos cossenos novamente:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>S\u00b2 = A\u00b2 + B\u00b2 + 2 . A . B . cos 180\u00ba<\/li><li>S\u00b2 = A\u00b2 + B\u00b2 + 2 . A . B . (-1)<\/li><li>S\u00b2 = A\u00b2 + B\u00b2 &#8211; 2 . A . B<\/li><li>S\u00b2 = (A &#8211; B)\u00b2<\/li><li><strong>S = A &#8211; B<\/strong><\/li><\/ul>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\">3\u00ba caso: quando \u03b8 = 90\u00ba<\/h4>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"206\" height=\"180\" src=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/lei-dos-cossenos-1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2507\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Vamos aplicar a lei dos cossenos:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>S\u00b2 = A\u00b2 + B\u00b2 + 2 . A . B . cos 90\u00ba<\/li><li>S\u00b2 = A\u00b2 + B\u00b2 + 2 . A . B . 0<\/li><li><strong>S\u00b2 = A\u00b2 + B\u00b2<\/strong><\/li><\/ul>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">M\u00e9todo da Linha Poligonal<\/h2>\n\n\n\n<p>Suponha que devamos somar o vetor A com o vetor B para seguirmos a f\u00f3rmula S = A + B:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"281\" height=\"156\" src=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/m\u00e9todo-da-linha-pontagonal.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2508\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Diferentemente do m\u00e9todo anterior, aqui n\u00f3s vamos dispor a ponta de um vetor na origem do outro. Al\u00e9m disso, vamos tra\u00e7ar o vetor resultante S partindo da origem do primeiro vetor e terminando na extremidade do \u00faltimo.<\/p>\n\n\n\n<p>Vamos colocar o vetor A saindo do B. Veja:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"205\" height=\"191\" src=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/m\u00e9todo-da-linha-pontagonal-1-1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2510\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Neste caso, o que temos \u00e9: S = B + A. Repare que poder\u00edamos ter feito o vetor B saindo do A e alcan\u00e7ar\u00edamos o mesmo resultado, ou seja, n\u00e3o importa qual vetor voc\u00ea escolha mexer, os desenhos e resultados finais v\u00e3o ser equivalentes. Veja:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"227\" height=\"191\" src=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/m\u00e9todo-da-linha-pontagonal-2.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2511\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Este \u00e9 o momento que muitos alunos me perguntam: mas, Pinguim, por que existem dois m\u00e9todos de soma vetorial? A resposta \u00e9 que, enquanto <strong>a Regra do Paralelogramo serve para somar apenas dois vetores, o M\u00e9todo da Linha Poligonal pode ser utilizado para somar dois ou mais.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Exemplo: no gr\u00e1fico abaixo quero calcular a soma dos vetores A, B e C. Ou seja, <strong>S = A + B + C<\/strong><\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"248\" height=\"158\" src=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/m\u00e9todo-da-linha-pontagonal-3.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2513\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p><strong>Aten\u00e7\u00e3o: <\/strong>para facilitar, j\u00e1 trouxe um exemplo em que a ponta de um vetor j\u00e1 se encaixa na origem do outro. No entanto, caso a quest\u00e3o n\u00e3o esteja disposta dessa maneira, devemos redesenhar o gr\u00e1fico, assim como fizemos no exemplo acima.<\/p>\n\n\n\n<p>Portanto:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"259\" height=\"172\" src=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/m\u00e9todo-da-linha-pontagonal-4.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2514\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Vamos ver um exemplo que n\u00e3o est\u00e1 pronto:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"304\" height=\"231\" src=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/m\u00e9todo-da-linha-pontagonal-5.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2515\" srcset=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/m\u00e9todo-da-linha-pontagonal-5.png 304w, https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/m\u00e9todo-da-linha-pontagonal-5-300x228.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 304px) 100vw, 304px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Como vimos, temos que reorganiz\u00e1-lo, pois n\u00e3o est\u00e1 seguindo as regras estabelecidas neste m\u00e9todo. Ao fazer isso, teremos:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"187\" height=\"289\" src=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/m\u00e9todo-da-linha-pontagonal-6.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2516\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Beleza, organizamos o gr\u00e1fico. Mas como calculamos o tamanho do vetor da resultante S? Nesses casos, o m\u00f3dulo do vetor S muitas vezes n\u00e3o \u00e9 dado em \u00e2ngulo. Em muitas situa\u00e7\u00f5es, temos que &#8220;inventar&#8221; um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo em algum lugar.<\/p>\n\n\n\n<p>Vamos seguir neste nosso \u00faltimo exemplo. Repare onde o tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo ser\u00e1 formado:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"173\" height=\"281\" src=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/m\u00e9todo-da-linha-pontagonal-7.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2517\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Veja que o vetor da resultante S ser\u00e1 a hipotenusa do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo amarelo na imagem. Portanto, se voc\u00ea souber quanto mede a base (x) e quanto mede a altura (y) do tri\u00e2ngulo, voc\u00ea conseguir\u00e1 calcular S da mesma forma que a hipotenusa:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>S\u00b2 = x\u00b2 + y\u00b2<\/li><\/ul>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">M\u00e9todo da Linha Poligonal: caso particular<\/h3>\n\n\n\n<p>Quando a resultante de tr\u00eas vetores \u00e9 nula, pode-se construir um tri\u00e2ngulo com ele. Assim, um vetor fica com a ponta na origem do outro.<\/p>\n\n\n\n<p>Considere que F1 + F2 + F3 = 0 e veja o exemplo:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"221\" height=\"158\" src=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/m\u00e9todo-da-linha-pontagonal-casos-particulares.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2518\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Repare que a resultante geralmente preenche o espa\u00e7o que ficou faltando entre os vetores para completarmos a figura poligonal. Quando temos a informa\u00e7\u00e3o que a soma dos vetores \u00e9 igual a zero, ent\u00e3o temos que distribu\u00ed-los de uma maneira que n\u00e3o haja vetor da resultante, isto \u00e9, que a figura se feche em si mesma. Ent\u00e3o veja:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"247\" height=\"182\" src=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/m\u00e9todo-da-linha-pontagonal-casos-particulares-1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2519\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator\"\/>\n\n\n\n<p>Espero que voc\u00ea tenha entendido um pouco melhor sobre&nbsp;<strong>Soma vetorial: Regra do Paralelogramo e M\u00e9todo da Linha Poligonal.<\/strong> E se quiser ajuda para melhorar seu n\u00edvel de F\u00edsica em outras mat\u00e9rias,&nbsp;<strong><a href=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/\">entre em contato comigo e escolha o curso de F\u00edsica mais adequado para voc\u00ea<\/a>!<\/strong><\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><a href=\"https:\/\/conteudo.professorpinguim.com.br\/curso-de-fisica-gratuito\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/curso-fisica-professor-pinguim.png\" alt=\"Curso de F\u00edsica Gr\u00e1tis do Professor Pinguim\" class=\"wp-image-11364\"\/><\/a><\/figure>\n\n\n\n<p><strong>SAIBA MAIS<\/strong><br>\u2705&nbsp;<a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/pinguimrevisa-cinematica-enem\/\" target=\"_blank\"><strong>Quest\u00f5es de Cinem\u00e1tica resolvidas em v\u00eddeo<\/strong><\/a><br><a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/pinguimrevisa-cinematica-enem\/\" target=\"_blank\">\u2705<\/a>&nbsp;<a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/conceitos-basicos-de-cinematica-equacao-dos-espacos-em-funcao-do-tempo\/\" target=\"_blank\"><strong>Conceitos b\u00e1sicos de Cinem\u00e1tica: Equa\u00e7\u00e3o do espa\u00e7o em fun\u00e7\u00e3o do tempo<\/strong><\/a><br>\u2705&nbsp;<a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"https:\/\/professorpinguim.com.br\/blog\/pinguimrevisa-cinematica-sp\/\" target=\"_blank\"><strong>Tudo sobre Cinem\u00e1tica: Revis\u00e3o das principais quest\u00f5es dos vestibulares Paulista<\/strong><\/a><\/p>\n\n\n\n<p>Me acompanhe nas redes sociais: curta a minha&nbsp;<a href=\"https:\/\/www.facebook.com\/professorpinguim\/\"><strong>p\u00e1gina no Facebook<\/strong><\/a><strong>,<\/strong>&nbsp;me&nbsp;siga no&nbsp;<a href=\"https:\/\/www.instagram.com\/professorpinguim\/\"><strong>Instagram<\/strong><\/a><strong>,<\/strong>&nbsp;se inscreva no&nbsp;<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/c\/PinguimV%C3%ADdeoF%C3%ADsica\/?sub_confirmation=1\"><strong>Youtube<\/strong><\/a>&nbsp;e participe do meu canal oficial no&nbsp;<strong><a href=\"http:\/\/professorpinguim.com.br\/telegram\">Telegram<\/a><\/strong>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Regra do paralelogramo Para estudarmos a soma vetorial, vamos come\u00e7ar pela regra do paralelogramo. 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